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矩阵屏 读书志第一千四百八十二部?《杨辉算法》

时间:2021-08-03 11:02来源:hxceshi 点击:

读书志第一千四百八十二部·《杨辉算法

杨辉算法》包括《乘除通变本末》三卷,《田亩比类乘除捷法》二卷,《续古摘奇算法》二卷;其中《乘除通变本末》之上卷称为《乘除通变算宝》,其中卷称为《乘除通变本末》,其下卷称为《算法取用本末》;上、中卷为杨辉自撰,下卷则是与史仲荣合撰。《杨辉算法》共有七卷。作者事迹参见《读书志第一千四百八十一部·》。

在《杨辉算法》之《续古摘奇算法》中,杨辉转录《孙子算经》“物不知数”题,还补出四道类似题,并说这类题为“俗名秦王暗点兵,犹覆射之术”。他称这类题解法,即一次同余式组的解法为“翦管术”。只给出每一题的具体解法,未曾给出一次同余式的一般解法。

若表示以现代方式,这四题分别是:

N≡2(rood 3) ≡3(mod 5) ≡0(mod 7),

N≡l(mod 7) ≡2(mod 8) ≡3(mod 9),

石家庄杨辉_杨辉算法_杨辉事件

N≡3(mod ll) ≡2(mod l2) ≡1(mod l3),

N≡l(rood 2) ≡2(mod 5) ≡3(mod 7) ≡4(mod 9)。

杨辉虽然未能象秦九韶一样给出一般解法,但这四题的算法都正确无误。而且还把《孙子算经》三问数推广至四问数滑动滑轨屏,这就是杨辉的一点创新。

纵横图是组合数学一项重要内容,三阶纵横图在中国产生很早,而四至十阶纵横图却是杨辉所创,《续古摘奇算法》卷上,给出各阶纵横图造术方法,如三阶纵横图造术法为:“九子斜排(图1),上下对易(图2),左、右相更(图3),四维挺出(图4),戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足。”

199492

424242

杨辉事件_杨辉算法_石家庄杨辉

753753357357

868686

911816

(图1)(图2)(图3)(图4)

这方法日人称为“配列方法”。其次,杨辉也提出四阶纵横图造术方法,即“以十六子依次第作四行陈列,先以外四角对换,(一换十六.四换十三。)复以内四角对换,(六换十一,以七换十。)横直上下斜角,皆三十四数”。

即图5—7:

石家庄杨辉_杨辉事件_杨辉算法

139 5149516495 16

14 106214 106214 711 2

15 117315 117315 610 3

16 12841 128131 128 13

(图5)(图6)(图7)

以上都是“单式纵横图”造术法,杨辉还提出“复式纵横图”造术法。在一定程度上,这些方法可以推广,杨辉不但创造了“九九图”,还创造了“百子图”及圆形的“攒九图”。这些都是前人所未曾论及的工作。

刘益,其生平事迹很难稽考,杨辉认为他是中山(今河北定县一带)人,至于其活动年代,可能是北宋中期以前时代的人,杨辉于《田亩比类乘除捷法77序称:“中山刘先生作《议古根源》”。《议古根源》一书早已失传,杨辉又说该书“引用带纵开方正负损益之法,前古之所未闻也。”还于《算法通变本末》中说:“刘益以勾股之术,治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅开方,实冠前古。”可见《议古根源》是在方程论方面有突出贡献的著作,其中一部分内容当被杨辉所采用,经查对,在《田亩比类乘除捷法》中,曾采用刘益二百问之二十二问,计有:

X2—12x=864.

一5x2+228x=2592.

一5x4+52x3+128x2=4096,

等。刘益不但突破未知项系数必需为正的限制,也取消了二次项系数必需为l的限制,在解法方面,刘益还提出“益积术”、“减从术”两种方程解法。虽然《议古根源》早已散失杨辉算法,但可以通过杨辉的工作,了解到刘益的一些贡献。正如杨辉说:“辉择可作关键题问者,重为译悉著述,推广垂训刘君之意”。

在《续古摘奇算法》卷下,杨辉指出杨辉算法,《海岛算经》“实《九章》勾股之遗法也,迄今千余载间,唐李淳风而续算草,未闻解白作法之旨者。辉尝置海岛小图于座右,乃见先贤作法之万一,……滑轨屏设计,今将《孙子》度影量竿题问,引用详解,以验小图”。杨辉以《孙子算经》“度影量竿”两问为例,并用“股中容横,勾中容直”原理,论证计算岛高及岛远重差公式之造术,也为研治古算树立良非常好榜样。

在《杨辉算法》中,为非常好学易懂,不但配备许多题图,还编撰多首诗歌,并创立各种简明算法,几成为杨辉算书之特色。例如《乘除通变本末》有“求一乘”、“求一除”诗歌,今照录如下:

“求一乘”:五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,实即反其有,用加以代乘,斯数足可守。

“求一除”:五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,为除积相就,用减以代除,定位求如旧。

评:《杨辉算法》括三书,编撰诗歌配题图。

“物不知数”补四题,同余式组“翦管术”。

三阶四阶纵横图,创造“九九” “百子图”。

采用刘益二百问,度影量竿验小图。

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